Презентация ‘Многоугольник’ для 8 класса, Геометрия, Атанасян

В этой части будут рассмотрены основные элементы многоугольника, которые являются фундаментальными понятиями для изучения геометрических фигур. Вершины многоугольника представляют собой точки пересечения смежных сторон, которые обозначаются заглавными латинскими буквами и определяют форму фигуры. Стороны многоугольника — это отрезки, соединяющие соседние вершины, количество которых определяет название многоугольника (треугольник, четырехугольник, пятиугольник и так далее). Диагонали являются отрезками, соединяющими несмежные вершины многоугольника, и их количество можно вычислить по формуле n(n-3)/2, где n — число вершин. Будут изучены способы обозначения этих элементов, их взаимное расположение и основные свойства, которые понадобятся для дальнейшего изучения различных видов многоугольников и решения геометрических задач.

В этой части будут рассмотрены основные принципы и правила обозначения многоугольников в геометрии. Многоугольник обозначается перечислением его вершин в определенном порядке — либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки, при этом важно соблюдать последовательность расположения вершин. Например, пятиугольник с вершинами A, B, C, D, E может быть обозначен как ABCDE или EDCBA, но не как ACBDE. Также будут изучены способы обозначения элементов многоугольника: его сторон (отрезков, соединяющих соседние вершины), диагоналей (отрезков, соединяющих несмежные вершины), углов многоугольника и других важных элементов. Особое внимание уделяется правильному чтению и записи обозначений многоугольников, что является основой для дальнейшего изучения их свойств и характеристик.

В этом разделе будут рассмотрены основные понятия выпуклых и невыпуклых многоугольников, их характерные признаки и свойства. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через любые две его соседние вершины. Другими словами, выпуклый многоугольник не имеет «вмятин» — все его внутренние углы меньше 180°. К выпуклым многоугольникам относятся треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и другие фигуры, у которых любой отрезок, соединяющий две точки внутри многоугольника, целиком лежит внутри этой фигуры. Невыпуклые многоугольники имеют хотя бы один внутренний угол больше 180°, что создает характерные «впадины» в их форме. При изучении данной темы особое внимание уделяется визуальному распознаванию типов многоугольников и пониманию геометрических свойств, которые отличают выпуклые фигуры от невыпуклых.

В этом разделе будут сформулированы основные признаки, позволяющие определить, является ли данный многоугольник выпуклым. Рассматриваются критерии выпуклости через расположение вершин относительно прямых, содержащих стороны многоугольника, а также через анализ внутренних углов. Изучается признак выпуклости, основанный на том, что все вершины многоугольника должны лежать по одну сторону от каждой прямой, содержащей любую из его сторон. Дополнительно анализируется свойство выпуклых многоугольников, согласно которому сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n-2), и каждый внутренний угол меньше 180°. Представлены практические способы проверки выпуклости многоугольника и примеры применения данных признаков для решения геометрических задач.

В этой части будут рассмотрены основные понятия, связанные с периметром многоугольника, а также способы его вычисления для различных типов многоугольников. Периметр многоугольника определяется как сумма длин всех его сторон и обозначается буквой P. Для правильных многоугольников, у которых все стороны равны, периметр вычисляется по формуле P = n·a, где n — количество сторон, а — длина одной стороны. Учащиеся познакомятся с практическими методами измерения периметра на конкретных примерах треугольников, четырёхугольников и других многоугольников, научатся применять свойства периметра при решении геометрических задач, а также узнают о связи периметра с другими характеристиками многоугольника, такими как площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей.

В этом разделе будут рассмотрены основные типы многоугольников в зависимости от количества их сторон и вершин. Треугольник является простейшим многоугольником с тремя сторонами и тремя углами, четырехугольник имеет четыре стороны и четыре угла, пятиугольник — пять сторон и углов, шестиугольник — шесть сторон и углов. Многоугольники с большим количеством сторон получают названия согласно греческой и латинской нумерации: семиугольник (гептагон), восьмиугольник (октагон), девятиугольник (эннеагон), десятиугольник (декагон) и так далее. Общее название для многоугольника с n сторонами — n-угольник, где n — натуральное число, большее или равное трем. Каждый многоугольник характеризуется равенством количества сторон, вершин и углов, что является его основным свойством.

В этой части будут рассмотрены основные свойства треугольника как простейшего представителя семейства многоугольников. Треугольник является фигурой, образованной тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Будут изучены элементы треугольника: вершины, стороны и углы, а также основные соотношения между ними. Особое внимание уделяется классификации треугольников по длинам сторон (равносторонние, равнобедренные, разносторонние) и по величинам углов (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные). Рассматриваются основные свойства треугольника: сумма внутренних углов равна 180°, неравенство треугольника, связь между сторонами и углами. Также анализируется понятие периметра треугольника и его вычисление, что служит основой для дальнейшего изучения периметров более сложных многоугольников.

В этой части будут рассмотрены основные виды четырехугольников и их характерные свойства. Четырехугольник представляет собой многоугольник с четырьмя вершинами и четырьмя сторонами, который может быть выпуклым или невыпуклым. Среди выпуклых четырехугольников особое место занимают параллелограмм, у которого противоположные стороны параллельны и равны, а противоположные углы равны. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, где все углы прямые, ромб, у которого все стороны равны, и квадрат, объединяющий свойства прямоугольника и ромба. Трапеция выделяется наличием только одной пары параллельных сторон, называемых основаниями, при этом равнобедренная трапеция имеет равные боковые стороны и углы при основаниях. Изучение свойств диагоналей, углов и сторон каждого вида четырехугольников позволяет решать задачи на вычисление периметра, площади и доказательство геометрических утверждений.

В этой части будут рассмотрены правильные многоугольники и их основные свойства. Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Будут изучены формулы для вычисления центрального угла правильного n-угольника, равного 360°/n, и внутреннего угла, равного 180°(n-2)/n. Особое внимание уделяется построению правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки, включая правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник. Рассматриваются понятия центра правильного многоугольника, радиуса описанной и вписанной окружностей, апофемы. Изучаются формулы для вычисления площади правильного многоугольника через периметр и апофему, а также через радиус описанной окружности. Приводятся примеры решения задач на нахождение элементов правильных многоугольников и их практическое применение в архитектуре и технике.

В этом разделе будут рассмотрены основные принципы определения суммы внутренних углов произвольного многоугольника. Будет доказана основная теорема о том, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n-2)·180°. Доказательство строится на разбиении многоугольника на треугольники путем проведения диагоналей из одной вершины, что позволяет получить (n-2) треугольников. Поскольку сумма углов каждого треугольника составляет 180°, общая сумма внутренних углов многоугольника равна произведению количества треугольников на 180°. Будут рассмотрены практические примеры вычисления суммы углов для треугольника (180°), четырехугольника (360°), пятиугольника (540°) и других многоугольников, а также решение обратных задач по нахождению количества сторон многоугольника при известной сумме его внутренних углов.

В этом разделе будут рассмотрены основные принципы вывода и применения формулы для вычисления суммы внутренних углов произвольного n-угольника. Учащиеся познакомятся с методом разбиения многоугольника на треугольники путем проведения диагоналей из одной вершины, что позволяет установить связь между количеством сторон многоугольника и суммой его углов. Будет показано, что любой выпуклый n-угольник можно разделить на (n-2) треугольника, каждый из которых имеет сумму углов 180°, что приводит к формуле S = 180°(n-2) для суммы внутренних углов n-угольника. Особое внимание уделяется практическому применению данной формулы для решения задач на нахождение неизвестных углов в различных многоугольниках, а также для проверки правильности построений и вычислений при работе с правильными многоугольниками.

В этом разделе будут рассмотрены основные свойства внешних углов многоугольника и доказана важная теорема о сумме внешних углов произвольного выпуклого многоугольника. Внешний угол многоугольника определяется как угол, смежный с внутренним углом многоугольника, и для любого выпуклого n-угольника сумма всех внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна 360°. Это утверждение справедливо для любого многоугольника независимо от количества его сторон — будь то треугольник, четырехугольник, пятиугольник или многоугольник с большим числом сторон. Доказательство теоремы основывается на том факте, что сумма внутреннего и внешнего углов при любой вершине составляет 180°, а также на ранее изученной формуле для суммы внутренних углов многоугольника.

В этом разделе будут рассмотрены понятие диагонали многоугольника и способы подсчета их количества. Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две несмежные вершины фигуры. Для n-угольника количество диагоналей определяется по формуле n(n-3)/2, где n — число вершин многоугольника. Учащиеся познакомятся с выводом данной формулы: из каждой вершины можно провести (n-3) диагонали, всего таких вершин n, но при этом каждая диагональ учитывается дважды, поэтому результат делится на 2. Будут рассмотрены примеры вычисления количества диагоналей для различных многоугольников: треугольник имеет 0 диагоналей, четырехугольник — 2 диагонали, пятиугольник — 5 диагоналей, шестиугольник — 9 диагоналей.

В этой части будут рассмотрены типичные задачи на многоугольники, которые встречаются в курсе геометрии 8 класса по учебнику Атанасяна. Разбираются примеры вычисления суммы углов выпуклого многоугольника, определения количества сторон многоугольника по известной сумме его углов, нахождения величины каждого угла правильного многоугольника. Представлены задачи на применение формул для вычисления периметра и площади правильных многоугольников, а также задачи на построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Особое внимание уделяется решению задач на свойства диагоналей многоугольников и их количество. Каждый пример сопровождается подробным пошаговым решением с объяснением применяемых теорем и формул, что поможет учащимся лучше понять материал и научиться самостоятельно решать аналогичные задачи.

В этой части будут рассмотрены различные сферы применения многоугольников в повседневной жизни и профессиональной деятельности человека. Многоугольные формы широко используются в архитектуре и строительстве — от простейших треугольных ферм крыш до сложных многоугольных оснований зданий и сооружений. В машиностроении болты и гайки имеют шестиугольную форму для удобства захвата инструментом, а многие детали механизмов проектируются с учетом свойств правильных многоугольников. Дизайнеры и художники активно применяют многоугольники при создании орнаментов, логотипов, мозаик и декоративных элементов. В природе также встречаются многоугольные формы — пчелиные соты представляют собой правильные шестиугольники, кристаллы минералов часто имеют многоугольную структуру. Современные технологии используют многоугольники в компьютерной графике для создания 3D-моделей, в картографии для разбиения территорий на участки, а также в различных областях науки и техники, где важны прочность конструкций и оптимальное использование материалов.