y = x^3 — 3x^2

Задача: y = x^3 — 3x^2

Шаг 1: Найдем производную функции y по x.
y’ = d/dx (x^3) — d/dx (3x^2)
y’ = 3x^2 — 6x

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.
0 = 3x^2 — 6x

Шаг 3: Вынесем общий множитель.
0 = 3x(x — 2)

Шаг 4: Найдем значения x, при которых производная равна нулю.
3x = 0 или x — 2 = 0
x = 0 или x = 2

Шаг 5: Находим значения y для критических точек.
Для x = 0:
y(0) = 0^3 — 3 * 0^2 = 0

Для x = 2:
y(2) = 2^3 — 3 * 2^2 = 8 — 12 = -4

Шаг 6: Теперь у нас есть критические точки:
(0, 0) и (2, -4)

Шаг 7: Найдем вторую производную, чтобы определить характер критических точек.
y» = d/dx (3x^2 — 6x)
y» = 6x — 6

Шаг 8: Проверим вторую производную в критических точках.

Для x = 0:
y»(0) = 6(0) — 6 = -6 (мнимый минимум, вниз)

Для x = 2:
y»(2) = 6(2) — 6 = 6 (максимум, вверх)

Шаг 9: Подведем итог:
Критические точки: (0, 0) — минимум, (2, -4) — максимум.