x^2 + 4x — 45 >= 0. x^2 — 4 >= 0. (x + 2)(x — 4) < 0.

Решим каждое из неравенств по шагам.

1. **Первое неравенство: x^2 + 4x — 45 >= 0**

a. Найдем корни уравнения x^2 + 4x — 45 = 0.
b. Используем дискриминант D = b^2 — 4ac, здесь a = 1, b = 4, c = -45.

D = 4^2 — 4 * 1 * (-45)
D = 16 + 180 = 196.

c. Находим корни с помощью формулы:

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-4 + sqrt(196)) / 2 = (-4 + 14) / 2 = 10 / 2 = 5.
x2 = (-b — sqrt(D)) / (2a) = (-4 — sqrt(196)) / 2 = (-4 — 14) / 2 = -18 / 2 = -9.

d. Корни: x1 = 5, x2 = -9.

e. Определяем интервалы: (-∞, -9), (-9, 5), (5, +∞).

f. Проверяем значение функции в каждом интервале:

— Для x = -10:
(-10)^2 + 4*(-10) — 45 = 100 — 40 — 45 = 15 >= 0 (верно).

— Для x = 0:
0^2 + 4*0 — 45 = -45 < 0 (неверно). - Для x = 6: 6^2 + 4*6 - 45 = 36 + 24 - 45 = 15 >= 0 (верно).

g. Итог: x^2 + 4x — 45 >= 0 для интервалов (-∞, -9] и [5, +∞).

2. **Второе неравенство: x^2 — 4 >= 0**

a. Перепишем как (x — 2)(x + 2) >= 0.
b. Найдем корни: x = 2 и x = -2.

c. Определяем интервалы: (-∞, -2), (-2, 2), (2, +∞).

d. Проверяем значение функции в каждом интервале:

— Для x = -3:
(-3)^2 — 4 = 9 — 4 = 5 >= 0 (верно).

— Для x = 0:
0^2 — 4 = -4 < 0 (неверно). - Для x = 3: 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5 >= 0 (верно).

e. Итог: x^2 — 4 >= 0 для интервалов (-∞, -2] и [2, +∞).

3. **Третье неравенство: (x + 2)(x — 4) < 0** a. Найдем корни: x = -2 и x = 4. b. Определяем интервалы: (-∞, -2), (-2, 4), (4, +∞). c. Проверяем значение функции в каждом интервале: - Для x = -3: (-3 + 2)(-3 - 4) = (-1)(-7) = 7