В треугольнике сторона AC равна 25,8, угол B равен 45°, угол C равен 60°. Найти AB. Ответ упростить так, чтобы под знаком корня стояло наименьшее натуральное число.

Для решения этой задачи используем закон синусов, который гласит:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

где a, b, c – стороны треугольника, а A, B, C – углы, противолежащие соответствующим сторонам.

1. Обозначим стороны:
— AC = b = 25.8
— угол B = 45°
— угол C = 60°
— угол A = 180° — B — C = 180° — 45° — 60° = 75°

2. Найдем сторону AB (обозначим её c):
c/sin(A) = b/sin(B)
c/sin(75°) = 25.8/sin(45°)

3. Подставим известные значения:
sin(45°) = √2 / 2
sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°)
cos(30°) = √3 / 2, sin(30°) = 1/2

Таким образом,
sin(75°) = (√2 / 2)(√3 / 2) + (√2 / 2)(1/2) = (√6 + √2) / 4

4. Перепишем уравнение:
c/((√6 + √2) / 4) = 25.8/(√2 / 2)

5. Упростим правую часть:
25.8/(√2 / 2) = 25.8 * (2/√2) = 25.8 * (√2 / 1) = 25.8√2

6. Теперь, равно:
c / ((√6 + √2) / 4) = 25.8√2

7. Умножим обе стороны на (√6 + √2) / 4:
c = 25.8√2 * (√6 + √2) / 4

8. Упростим выражение. Получаем:
c = (25.8(√12 + 2)) / 4
Здесь √12 = 2√3, поэтому:
c = (25.8(2√3 + 2)) / 4

9. Упростим:
c = (25.8/4)(2(√3 + 1)) = 6.45(√3 + 1)

10. Сконвертируем 6.45 в простую дробь:
6.45 = 129 / 20

11. Получаем финальный ответ:
c = (129(√3 + 1)) / 20

12. Поскольку под знаком корня у нас стоит 3 (наименьшее натуральное число), ответ записываем в виде:
c = 129√3 / 20 + 129 / 20

Итак, коротко:
AB ≈ 6.45(√3 + 1)