У старого художника в студии было несколько учеников. Известно, что возраст художника на 50 лет больше среднего возраста учеников и на 40 лет больше среднего возраста художника вместе с учениками. Сколько учеников у старого художника?

Обозначим:

— A — возраст художника
— n — количество учеников
— S — сумма возрастов учеников
— M — средний возраст учеников

Из условия задачи имеем:

1. A = M + 50 (возраст художника на 50 лет больше среднего возраста учеников)
2. A = (S + A) / (n + 1) + 40 (возраст художника на 40 лет больше среднего возраста художника вместе с учениками)

Теперь выразим M через S и n:
M = S / n

Подставим M в первое уравнение:

A = (S / n) + 50

Теперь подставим это значение A во второе уравнение:

(S / n) + 50 = (S + A) / (n + 1) + 40

Заменим A на (S / n) + 50:

(S / n) + 50 = (S + (S / n) + 50) / (n + 1) + 40

Теперь решим это уравнение. Упростим правую часть:

(S / n) + 50 = (S + (S / n) + 50) / (n + 1) + 40

Перепишем уравнение:

(S / n) + 50 — 40 = (S + (S / n) + 50) / (n + 1)

10 = (S + (S / n) + 50) / (n + 1)

Умножим обе стороны на (n + 1):

10(n + 1) = S + (S / n) + 50

Раскроем скобки:

10n + 10 = S + (S / n) + 50

Переносим S на одну сторону:

10n + 10 — 50 = (S / n)

10n — 40 = (S / n)

Теперь у нас есть S через n:

S = n(10n — 40)

Теперь подставим S обратно в уравнение для среднего возраста учеников:

M = S / n = (n(10n — 40)) / n = 10n — 40

Теперь подставим M обратно в первое уравнение:

A = M + 50 = (10n — 40) + 50 = 10n + 10

Теперь подставим это значение в уравнение для A во втором уравнении:

10n + 10 = (S + A) / (n + 1) + 40

Заменим S на n(10n — 40):

10n + 10 = (n(10n — 40) + (10n + 10)) / (n + 1) + 40

Упрощаем:

10n + 10 = (10n^2 — 40n + 10n + 10) / (n + 1) + 40

10n + 10 = (10n^2 — 30n + 10) / (n + 1) + 40

Умножим обе стороны на (n + 1):

(10n + 10)(n + 1) = 10n^2 — 30n + 10 + 40(n + 1)

10n^2 + 10n + 10n + 10 = 10n^2 — 30n + 10 + 40n + 40

10n^2 + 20n + 10 = 10n^2 + 10n + 50

Упростим уравнение:

20n + 10 = 10n + 50

10n