Существуют ли 666 попарно различных положительных рациональных чис, меньших 1, которые можно разбить как на пары с одинаковой суммой, так и на тройки с одинаковой суммой?

Для решения задачи найдем, существуют ли 666 попарно различных положительных рациональных чисел, меньших 1, которые можно разбить как на пары, так и на тройки с одинаковой суммой.

Шаг 1. Обозначим 666 положительных рациональных числа, меньших 1, как a1, a2, …, a666.

Шаг 2. Если мы разбиваем числа на пары с одинаковой суммой, это означает, что должны существовать такие пары (ai, aj), что сумма каждой пары равна некоторой величине S. Обозначим количество пар n. Для 666 чисел будет n = 666/2 = 333 пары.

Шаг 3. Сумма всех 666 чисел (а1 + a2 + … + a666) будет равна 333S, так как каждая пара из двух чисел дает одинаковую сумму S.

Шаг 4. Аналогично, если мы разбиваем числа на тройки с одинаковой суммой, обозначим тройки как (ak, al, am). Обозначим количество троек m. Для 666 чисел будет m = 666/3 = 222 тройки.

Шаг 5. Сумма всех 666 чисел аналогично будет равна 222T, где T — сумма каждой тройки.

Шаг 6. Теперь у нас две равенства:
— a1 + a2 + … + a666 = 333S
— a1 + a2 + … + a666 = 222T

Шаг 7. Приравняем обе суммы:
333S = 222T

Шаг 8. Упростим это равенство:
S/T = 222/333 = 2/3.

Шаг 9. Теперь заметим, что чтобы существовали попарно различные числа, меньшие 1 (ai < 1), мы должны удовлетворить условиям: 1) Для пар: 2ai < 1 (поскольку пары a и b не могут в сумме превышать 1) и 2) Для троек: 3ai < 1. Шаг 10. Сравним условия по числу элементов: Количество пар (333) и количество троек (222) говорит о том, что одно и то же множество должно удовлетворять условиям, которые различны по умолчанию. Шаг 11. Это указывает на то, что одно и то же множество не может одновременно разбиваться на пары и на тройки с равной суммой, так как числа, которые позволяют их разбивку, будут менять свою природу при изменении конфигурации. Шаг 12. Учитывая выводы, можно заключить, что такие 666 чисел не могут существовать как попарно различные положительные рациональные числа, поскольку они не могут удовлетворять обоим условиям. Ответ: Нет, 666 попарно различных положительных рациональных чисел, меньших 1, существовать не могут.