Решите уравнение: sin(x/2 — 2π/3) = √2/2.

Решение

Для решения уравнения sin(x/2 — 2π/3) = √2/2 следуем следующим шагам:

Шаг 1: Вспомнить, при каких значениях арксинуса синус равен √2/2.
Синус равен √2/2 для углов:
x1 = π/4 + 2kπ (где k – целое число)
x2 = 3π/4 + 2kπ (где k – целое число)

Шаг 2: Применить к этим значениям уравнение x/2 — 2π/3.
Мы должны решить два уравнения:

1) x/2 — 2π/3 = π/4 + 2kπ
2) x/2 — 2π/3 = 3π/4 + 2kπ

Шаг 3: Решить первое уравнение.
x/2 = π/4 + 2kπ + 2π/3
x/2 = π/4 + 2π/3 + 2kπ

Чтобы сложить π/4 и 2π/3, найдем общий знаменатель, который равен 12.
π/4 = 3π/12
2π/3 = 8π/12

Теперь складываем:
x/2 = 3π/12 + 8π/12 + 2kπ
x/2 = 11π/12 + 2kπ

Умножаем на 2:
x = 22π/12 + 4kπ
x = 11π/6 + 4kπ

Шаг 4: Решить второе уравнение.
x/2 = 3π/4 + 2kπ + 2π/3
x/2 = 3π/4 + 2π/3 + 2kπ

Аналогично, находим общий знаменатель, который равен 12.
3π/4 = 9π/12
2π/3 = 8π/12

Теперь складываем:
x/2 = 9π/12 + 8π/12 + 2kπ
x/2 = 17π/12 + 2kπ

Умножаем на 2:
x = 34π/12 + 4kπ
x = 17π/6 + 4kπ

Шаг 5: Записываем окончательный ответ.
Ответ:
x = 11π/6 + 4kπ (где k – целое число) и x = 17π/6 + 4kπ (где k – целое число).