Решите неравенство sin(3x — π/4) ≥ -1/2.

Для решения неравенства sin(3x — π/4) ≥ -1/2 следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем аргументы, при которых функция синуса равна -1/2.

Согласно основным свойствам тригонометрической функции синуса, мы знаем, что синус достигает значения -1/2 в следующих точках:

1. 7π/6 + 2kπ, где k – целое число
2. 11π/6 + 2kπ, где k – целое число

Шаг 2: Вводим переменную для упрощения. Пусть y = 3x — π/4.

Тогда, у нас есть:

y ≥ 7π/6 + 2kπ
y ≥ 11π/6 + 2kπ

Шаг 3: Мы решим каждое из неравенств по отдельно:

1. 3x — π/4 ≥ 7π/6 + 2kπ
3x ≥ 7π/6 + π/4 + 2kπ
3x ≥ 7π/6 + π/4 = 7π/6 + 3π/12 = (14π + 9π)/12 = 23π/12 + 2kπ

x ≥ (23π/12 + 2kπ) / 3
x ≥ (23π/36 + 2kπ/3)

2. 3x — π/4 ≥ 11π/6 + 2kπ
3x ≥ 11π/6 + π/4 + 2kπ
3x ≥ 11π/6 + π/4 = 11π/6 + 3π/12 = (22π + 9π)/12 = 31π/12 + 2kπ

x ≥ (31π/12 + 2kπ) / 3
x ≥ (31π/36 + 2kπ/3)

Шаг 4: Объединяем результаты неравенств:

1. x ≥ (23π/36 + 2kπ/3)
2. x ≥ (31π/36 + 2kπ/3)

Шаг 5: В итоге, учитывая все целые k, пусть k пробегает все возможные значения, получаем:

Ответ: x ≥ 23π/36 + 2kπ/3 (и) x ≥ 31π/36 + 2kπ/3 для всех целых k.