Решить уравнение: (cos 4a — sin 4a)/cos 2a + 2 tg 2a = 1/cos 2a

Решим уравнение: (cos 4a — sin 4a)/cos 2a + 2 tg 2a = 1/cos 2a.

Шаг 1: Освободимся от дробей. Умножим все части уравнения на cos 2a:

(cos 4a — sin 4a) + 2 tg 2a * cos 2a = 1.

Шаг 2: Заменим tg 2a на sin 2a / cos 2a:

(cos 4a — sin 4a) + 2 (sin 2a / cos 2a) * cos 2a = 1.

Шаг 3: Упростим второе слагаемое:

(cos 4a — sin 4a) + 2 sin 2a = 1.

Шаг 4: Переносим 1 на левую сторону:

cos 4a — sin 4a + 2 sin 2a — 1 = 0.

Шаг 5: Упростим уравнение. Мы можем заменить cos 4a и sin 4a на выражения через sin 2a. Зная, что cos 4a = 1 — 2sin^2 2a и sin 4a = 2sin 2a * cos 2a, запишем:

(1 — 2sin^2 2a) — 2(2sin 2a * cos 2a) + 2sin 2a — 1 = 0.

Шаг 6: Упростим уравнение:

-2sin^2 2a — 4sin 2a * cos 2a + 2sin 2a = 0.

Шаг 7: Соберём подобные:

-2sin^2 2a — 4sin 2a * cos 2a + 2sin 2a = 0.

-2sin^2 2a — 4sin 2a * cos 2a + 2sin 2a = -2sin^2 2a — 2sin 2a (2cos 2a — 1) = 0.

Шаг 8: Факторизуем:

-2sin 2a (sin 2a + (2cos 2a — 1)) = 0.

Шаг 9: Находим корни:

1) sin 2a = 0,
2) sin 2a + (2cos 2a — 1) = 0.

Для решения первого уравнения:

sin 2a = 0
2a = k*pi, где k — целое число,
a = k*pi/2.

Для второго уравнения:

sin 2a = 1 — 2cos 2a
sin 2a = 1 — 2(1 — sin^2 2a) = 2sin^2 2a — 1,
2sin^2 2a — sin 2a — 1 = 0.

Шаг 10: Решаем квадратное уравнение:

D = (-1)^2 — 4*2*(-1) = 1 + 8 = 9.
sin 2a = (1 ± 3) / 4.

Значения:
1) sin 2a = 1,
2) sin 2a = -1/2.

Шаг 11: Находим a:

1) sin 2a = 1
2a = pi/2 + 2k*pi, a = pi/4 + k*pi.

2) sin 2a = -1/2
2