Решить неравенство x^2 — 2x — 3 ≤ 0

Шаг 1: Найдем корни уравнения x^2 — 2x — 3 = 0.

Для этого используем формулу корней квадратного уравнения: x = (-b ± √(b^2 — 4ac)) / 2a.
В нашем случае a = 1, b = -2, c = -3.

Шаг 2: Вычислим дискриминант D.
D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.

Шаг 3: Подставим значение D в формулу корней.
x1 = (2 + √16) / 2(1) = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3.
x2 = (2 — √16) / 2(1) = (2 — 4) / 2 = -2 / 2 = -1.

Шаг 4: Теперь знаем корни уравнения: x1 = 3 и x2 = -1.

Шаг 5: Построим числовую прямую и отметим корни -1 и 3. Эти корни разбивают прямую на три промежутка:
1) (-∞, -1)
2) (-1, 3)
3) (3, +∞)

Шаг 6: Проверим знак функции f(x) = x^2 — 2x — 3 на каждом из промежутков.

1) Для промежутка (-∞, -1) (например, x = -2):
f(-2) = (-2)^2 — 2*(-2) — 3 = 4 + 4 — 3 = 5 (положительный).

2) Для промежутка (-1, 3) (например, x = 0):
f(0) = 0^2 — 2*0 — 3 = -3 (отрицательный).

3) Для промежутка (3, +∞) (например, x = 4):
f(4) = 4^2 — 2*4 — 3 = 16 — 8 — 3 = 5 (положительный).

Шаг 7: Теперь можем записать знаки функции на каждом промежутке:
— Для (-∞, -1) знак положительный
— Для (-1, 3) знак отрицательный
— Для (3, +∞) знак положительный

Шаг 8: Поскольку нас интересует неравенство x^2 — 2x — 3 ≤ 0, то мы берем промежуток, где функция отрицательна и также учитываем корни, где функция равна нулю.

Шаг 9: Итак, решение неравенства:
x ∈ [-1, 3].

Ответ: x ∈ [-1, 3].