log_4((x-3)(10+3x-x^2)) + log_4((7-x)/(10+3x-x^2)) < 0

Решение

Решим неравенство шаг за шагом.

Шаг 1: Объединим логарифмы.
log_4((x-3)(10+3x-x^2)) + log_4((7-x)/(10+3x-x^2)) = log_4(((x-3)(7-x))/(10+3x-x^2))

Шаг 2: Преобразуем неравенство.
log_4(((x-3)(7-x))/(10+3x-x^2)) < 0 Шаг 3: Условие для логарифма. Для того чтобы log_4(A) < 0, A < 1, где A = ((x-3)(7-x))/(10+3x-x^2). Шаг 4: Поставим неравенство. ((x-3)(7-x))/(10+3x-x^2) < 1 Шаг 5: Переносим 1 влево. ((x-3)(7-x))/(10+3x-x^2) - 1 < 0 Шаг 6: Приведем к общему знаменателю. ((x-3)(7-x) - (10 + 3x - x^2)) / (10 + 3x - x^2) < 0 Шаг 7: Упростим числитель. Числитель: (x-3)(7-x) - (10 + 3x - x^2) = 7x - x^2 - 21 + 3x + x^2 - 10 = 10x - 31 Шаг 8: Получаем неравенство. (10x - 31)/(10 + 3x - x^2) < 0 Шаг 9: Найдем корни числителя и знаменателя. 10x - 31 = 0 => x = 31/10

10 + 3x — x^2 = 0.
Решим квадратное уравнение x^2 — 3x — 10 = 0:
D = (-3)^2 — 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49.
Корни: x1 = (3 + 7) / 2 = 5, x2 = (3 — 7) / 2 = -2.

Шаг 10: Интервалы, определенные корнями:
(-∞, -2), (-2, 3.1), (5, +∞).

Шаг 11: Проверим знаки на каждом интервале.
1. На интервале (-∞, -2): подставим x = -3.
(10 * -3 — 31) / (10 + 3 * -3 — (-3)^2) = (-30 — 31) / (10 — 9 — 9) = -61 / (-8) > 0.

2. На интервале (-2, 3.1): подставим x = 0.
(10 * 0 — 31) / (10 + 3 * 0 — 0^2) = (-31) / 10 < 0. 3. На интервале (5, +∞): подставим x = 6. (10 * 6 - 31) / (10 + 3 * 6 - 6^2) = (60 - 31) / (10 + 18 - 36) = 29 / (-8) < 0. Шаг 12: Определим знаки. Интервалы с неровным знаком: (-2, 3.1) и (5