lg^2(4x-3)+3lg(4x-3)*lg(2-x)+2lg^2(2-x), [-1; 1]

Решение

Решим уравнение: lg^2(4x-3) + 3lg(4x-3)*lg(2-x) + 2lg^2(2-x) = 0.

1. Обозначим y1 = lg(4x — 3) и y2 = lg(2 — x).
Тогда уравнение примет вид:
y1^2 + 3y1*y2 + 2y2^2 = 0.

2. Это квадратное уравнение относительно y1. Его можно записать в виде:
y1^2 + 3y1*y2 + 2y2^2 = 0.

3. Применим формулу для решения квадратного уравнения:
y1 = (-B ± sqrt(B^2 — 4AC)) / 2A,
где A = 1, B = 3y2, C = 2y2^2.

4. Рассчитаем дискриминант:
D = (3y2)^2 — 4*1*2y2^2
D = 9y2^2 — 8y2^2
D = y2^2.

5. Теперь находим корни:
y1 = (-3y2 ± sqrt(y2^2)) / 2
y1 = (-3y2 ± |y2|) / 2.

6. Рассмотрим два случая:
— Случай 1: y1 = (-3y2 + |y2|) / 2.
— Случай 2: y1 = (-3y2 — |y2|) / 2.

7. Рассмотрим первый случай:
— Если y2 >= 0, то |y2| = y2, и у нас:
y1 = (-3y2 + y2) / 2 = -2y2 / 2 = -y2,
следовательно, lg(4x — 3) = -lg(2 — x),
lg(4x — 3) = lg(1/(2 — x)).
Поэтому 4x — 3 = 1/(2 — x),
(4x — 3)(2 — x) = 1,
4x*2 — 4x^2 — 3*2 + 3x = 1,
8x — 4x^2 — 6 + 3x = 1,
-4x^2 + 11x — 7 = 0,
умножим все на -1:
4x^2 — 11x + 7 = 0.
Решим это уравнение с помощью формулы корней (x = [-b ± sqrt(b^2 — 4ac)] / 2a):
D = 121 — 112 = 9,
x1 = (11 + 3) / 8 = 14 / 8 = 1.75 (не входит в область),
x2 = (11 — 3) / 8 = 8 / 8 = 1 (допустимое решение).

8. Второй случай (y2 < 0): Если y2 < 0, то |y2| = -y2, и у нас: y1 = (-3y2 - y2) / 2 = -4y2 / 2 = -2y2. Следовательно, lg(4x - 3) = -2lg(2 - x), lg(4x - 3) = lg((2 - x)^(-2)), 4x - 3 = 1/(2 - x)^2,