Известно, что f(x^2 + x) = 2(x^2 + x + 1). Чему равно f(x)?

Шаг 1: Изучим данное уравнение: f(x^2 + x) = 2(x^2 + x + 1).

Шаг 2: Запишем y = x^2 + x. Тогда мы можем выразить f(y) через y:

f(y) = 2(y + 1).

Шаг 3: Подставим y обратно, используя y = x^2 + x:

f(x^2 + x) = 2((x^2 + x) + 1) = 2(x^2 + x + 1).

Шаг 4: Теперь необходимо выразить f(x). Для этого возьмем x в таком виде, чтобы y = x.

Шаг 5: Допустим, что x^2 + x = t. Это уравнение можно переписать как x^2 + x — t = 0. Решим его относительно x:

x = (-1 ± sqrt(1 + 4t)) / 2.

Шаг 6: Теперь подставим это значение x в f(x):

Если x = (-1 + sqrt(1 + 4t)) / 2, то f(x) будет равно 2(((-1 + sqrt(1 + 4t))^2 + (-1 + sqrt(1 + 4t))) + 1).

Шаг 7: Однако, более простой способ — это подставить t = 0 (вместо x), чтобы найти f(0):

t = 0:
0 = x^2 + x
x(x + 1) = 0.

Шаг 8: Значения x: x = 0 или x = -1.

Шаг 9: Находим f(0) и f(-1):
f(0) = 2(0 + 1) = 2.
f(-1) = 2((-1)^2 + (-1) + 1) = 2(1 — 1 + 1) = 2(1) = 2.

Шаг 10: Теперь мы можем сделать вывод:
f(x) = 2x + 2.

Ответ: f(x) = 2x + 2.