f(x) = -x^3 + 15x^2 — 51x
Для функции f(x) = -x^3 + 15x^2 — 51x найдем корни и проанализируем ее поведение.
Шаг 1: Найдем критические точки. Для этого вычислим производную f'(x).
f'(x) = -3x^2 + 30x — 51.
Шаг 2: Найдем, где производная равна нулю. Решим уравнение:
-3x^2 + 30x — 51 = 0.
Шаг 3: Упростим уравнение, деля на -3:
x^2 — 10x + 17 = 0.
Шаг 4: Найдем дискриминант D:
D = b^2 — 4ac = (-10)^2 — 4 * 1 * 17 = 100 — 68 = 32.
Шаг 5: Найдем корни уравнения с помощью формулы корней:
x1 = (10 + sqrt(32))/2,
x2 = (10 — sqrt(32))/2.
Шаг 6: Так как sqrt(32) = 4sqrt(2), подставим:
x1 = (10 + 4sqrt(2))/2 = 5 + 2sqrt(2),
x2 = (10 — 4sqrt(2))/2 = 5 — 2sqrt(2).
Шаг 7: Теперь найдем значения f(x) для этих x:
f(x1) = — (5 + 2sqrt(2))^3 + 15(5 + 2sqrt(2))^2 — 51(5 + 2sqrt(2)),
f(x2) = — (5 — 2sqrt(2))^3 + 15(5 — 2sqrt(2))^2 — 51(5 — 2sqrt(2)).
Шаг 8: Нам также нужно найти инфлексные точки. Найдем вторую производную:
f»(x) = -6x + 30.
Шаг 9: Найдем, где f»(x) = 0:
-6x + 30 = 0.
Шаг 10: Найдем значение x:
6x = 30,
x = 5.
Шаг 11: Найдем значение f(5):
f(5) = -5^3 + 15*5^2 — 51*5 = -125 + 375 — 255 = -5.
Шаг 12: Проанализируем поведение функции. При x << 0: f(x) растет, при x >> 0: f(x) убывает. Корни функции определяют пересечение с осью x.
Шаг 13: Итог: критические точки x1 = 5 + 2sqrt(2), x2 = 5 — 2sqrt(2), инфлексная точка x = 5, значение в инфлексной точке f(5) = -5.
