f(x) = (6x + 7)/(2 — x)

Решение

Решим задачу с функцией f(x) = (6x + 7)/(2 — x).

Шаг 1: Найдем область определения функции f(x).
Для этого нужно убедиться, что знаменатель не равен нулю.
Знаменатель: 2 — x.
Приравняем к нулю:
2 — x = 0
x = 2.

Таким образом, x не может равняться 2.
Область определения: x ∈ R, x ≠ 2.

Шаг 2: Найдем значения функции для различных x.
Подставим несколько значений x в функцию f(x).

1. При x = 0:
f(0) = (6*0 + 7)/(2 — 0) = 7/2 = 3.5

2. При x = 1:
f(1) = (6*1 + 7)/(2 — 1) = (6 + 7)/(1) = 13/1 = 13

3. При x = -1:
f(-1) = (6*(-1) + 7)/(2 — (-1)) = (-6 + 7)/(2 + 1) = 1/3

Шаг 3: Определим асимптоты.
Сначала найдем вертикальную асимптоту.
Она будет там, где знаменатель равен нулю:
x = 2 – вертикальная асимптота.

Теперь найдем горизонтальную асимптоту.
Для этого проанализируем поведение функции при x → ∞ и x → -∞.
При x → ∞:
f(x) = (6x + 7)/(2 — x) ≈ 6x/(-x) = -6.
При x → -∞:
f(x) = (6x + 7)/(2 — x) ≈ 6x/(-x) = -6.
Итак, горизонтальная асимптота y = -6.

Шаг 4: Подводим итоги.
Область определения функции: x ∈ R, x ≠ 2.
Вертикальная асимптота: x = 2.
Горизонтальная асимптота: y = -6.
Значения функции для некоторых x:
f(0) = 3.5, f(1) = 13, f(-1) = 1/3.