ctg 4β (cos 2β + sin 2β) = 1/2 sin 2β

1. Запишем данное уравнение: ctg 4β (cos 2β + sin 2β) = 1/2 sin 2β.

2. Напомним определение котангенса: ctg x = cos x / sin x. Подставим это в уравнение:
(cos 4β / sin 4β)(cos 2β + sin 2β) = 1/2 sin 2β.

3. Умножим обе стороны уравнения на sin 4β, чтобы избавиться от дроби:
cos 4β (cos 2β + sin 2β) = (1/2 sin 2β)(sin 4β).

4. Раскроем правую часть:
cos 4β (cos 2β + sin 2β) = (1/2)(2sin 2β cos 2β) = sin 2β cos 2β.

5. Перепишем левую часть как сумму:
cos 4β cos 2β + cos 4β sin 2β = sin 2β cos 2β.

6. Теперь упростим уравнение:
cos 4β cos 2β + cos 4β sin 2β — sin 2β cos 2β = 0.

7. Вынесем sin 2β из второго и третьего слагаемого:
cos 4β cos 2β + sin 2β (cos 4β — cos 2β) = 0.

8. У нас два множителя, каждый из которых может равняться нулю:
a) cos 4β = 0,
b) sin 2β = 0 или cos 4β — cos 2β = 0.

9. Решим первое уравнение: cos 4β = 0.
4β = (2n + 1)π/2, n — целое число.
Тогда β = (2n + 1)π/8.

10. Теперь решим второе уравнение: sin 2β = 0.
2β = nπ, n — целое число.
β = nπ/2.

11. Закончим решать уравнение cos 4β — cos 2β = 0:
cos 4β = cos 2β.

12. Это даёт два случая:
a) 4β = 2β + 2kπ, k — целое число,
b) 4β = -2β + 2kπ.

13. Решим случай a):
4β — 2β = 2kπ,
2β = 2kπ,
β = kπ.

14. Решим случай b):
4β + 2β = 2kπ,
6β = 2kπ,
β = kπ/3.

15. Теперь соберем все решения:
β = (2n + 1)π/8, β = nπ/2, β = kπ, и β = kπ/3.

16. Убедимся, что все значения получены для различных целых n и k.

Ответ: β = (2n + 1)π/8, β = nπ/2, β = kπ, β = kπ/3, где n и k — целые числа.