У кубического многочлена f(x) со старшим коэффициентом 1 есть три различных действительных корня, и все его коэффициенты отличны от нуля, а у многочлена g(x)=f(x−1) два коэффициента на 1 больше коэффициентов f при тех же степенях. Найдите сумму корней многочлена g.
-
Обозначим f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c, где a, b, c ≠ 0.
-
Разложим g(x) = f(x−1) = (x−1)^3 + a(x−1)^2 + b(x−1) + c.
Раскрываем скобки:
g(x) = x^3 + (a − 3) x^2 + (3 − 2a + b) x + (−1 + a − b + c). -
По условию у g два коэффициента ровно на 1 больше соответствующих коэффициентов f.
Сравним по степеням:-
для x^2: коэффициент в g = a − 3, в f = a. Уравнение a − 3 = a + 1 невозможно (−3 = 1), значит x^2 не участвует.
-
для x: 3 − 2a + b = b + 1 => 3 − 2a = 1 => a = 1.
-
для свободного члена: −1 + a − b + c = c + 1 => −1 + a − b = 1 => a − b = 2.
Подставляем a = 1 в a − b = 2 => 1 − b = 2 => b = −1.
Это даёт ровно два увеличенных на 1 коэффициента (при x и при свободном члене). Других допустимых вариантов нет.
-
-
Тогда коэффициент при x^2 у g равен a − 3 = 1 − 3 = −2.
-
Сумма корней кубического многочлена равна отрицательному коэффициенту при x^2 (для унитарного старшего коэффициента):
сумма корней g = −(коэффициент при x^2 в g) = −(−2) = 2.
Ответ:
2.
